On the Oscillation of Even-Order Half-Linear Functional Difference Equations with Damping Term

Abstract

We investigate the oscillatory behavior of solutions of the<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math>th order half-linear functional difference equations with damping term of the form<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>[p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is even and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>is a fixed real number. Our main results are obtained via employing the generalized Riccati transformation. We provide two examples to illustrate the effectiveness of the proposed results.